Modellordnungsreduktion

Für lineare dynamische Systeme sind im Verlauf der vergangenen 30 Jahre viele verschiedene MOR Zugänge entwickelt worden, siehe etwa [BennHM11,SchiVR08. Für die MOR nichtlinearer Systeme kommen verschiedene Zugänge in Frage; der TPWL (trajectory piece-wise linear) Zugang [Rewi03] basiert auf geeigneten Linearisierungen, Proper Orthogonal Decomposition (POD) [Sir87] basiert auf Schnappschüssen der Lösung und ist in vielen verschiedenen ingenieurwissenschaftlichen Bereichen, insbesondere in der CFD und der Elektrotechnik, erfolgreich angewendet worden [Sir87,HK10,HolLB96,StrR11,VerMSM10. Ein Zusammenhang zwischen POD und dem balanciertem Abschneiden wird in [Rowl05,WillP02] aufgezeigt.

Der Einsatz der MOR im EM-Bereich beschränkt sich im Wesentlichen bisher auf Krylovraum-Verfahren [IoaC08,WitMSetal02,WitMSetal02a,WitSchWei2006. Ein wichtiges Ziel von MOR-Techniken ist die Erhaltung wesentlicher Systemeigenschaften wie Passivität und Stabilität in den reduzierten Modellen. MOR für nichtlineare gekoppelte Multiphysik-Systeme ist ein noch junges Forschungsfeld. Resultate für die Modellreduktion elektrischer Schaltungen mit Halbleiterbauelementen wurden kürzlich in etwa [Herkt_2013aa,HK2012,HKSS12,Hinze_2011aa,HKV11,HKM10,HK10] dargestellt.

MOR parametrischer Systeme ist ebenfalls ein junges Gebiet, das immer mehr an Bedeutung in verschiedenen Industrieanwendungen gewinnt. Durch den Einsatz von Unterraum-Recycling-Verfahren konnten auch für quasistationäre 3D Feldsimulationen sowie für Krylovraum-basierte parametrischen MOR-Verfahren Fortschritte erzielt werden~CleHSetal08,FenBK09. Eine Weiterentwicklung der Recycling-Techniken in Kombination mit Effizienz steigernden Vorkonditionierungstechniken sowohl für parametrische MOR bei Systemen mit unsicheren Parametern ist Gegenstand aktueller Forschung etwa im BMBF Verbund [MoreSim4Nano. Nichtlineare parametrischen MOR für parametrisierte elektrische Netzwerke auf der Basis von Greedy Sampling [PR07] wird in [HK10] vorgeschlagen. Dabei wird für die Reduktion der Nichtlinearitäten die Methode der diskreten empirischen Interpolation (DEIM) [CS10] verwendet.

Der Einsatz von reduzierten Modellen in der Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen hat eine lange Tradition und ist in vielen Anwendungen erfolgreich eingesetzt worden [AfHi01,Sachs,BCB05,HiVo05,HiVo08,NSMT09,TUV10]. Dahingegen ist der Einsatz von parametrischer MOR im Bereich der robusten Optimierung mit PDEs noch weitestgehend unerforscht.