AP 4: Robuste Optimierung

Adaptive Multilevelverfahren (AP 4.1)

Ziel des Arbeitspakets ist die Entwicklung von adaptiven Multilevel-Optimierungsverfahren, die unter Verwendung von adaptiven Diskretisierungen und daraus abgeleiteten reduzierten Modellen die effiziente Optimierung von elektromechanischen Energiewandlern unter Berücksichtigung von Unsicherheiten ermöglichen.

Die numerische Simulation von elektromechanischen Energiewandlern führt auf große gekoppelte PDAE-Systeme, deren hochaufgelöste Simulation sehr zeitaufwendig ist. Um eine effiziente Optimierung derartiger Systeme zu ermöglichen, bietet es sich an, die Optimierung zunächst auf Basis relativ grob diskretisierter Modelle zu starten und diese während der Optimierung anhand von Fehlerschätzern sachgerecht adaptiv zu verfeinern, sodass hochauflösende Simulationen erst in sehr wenigen Optimierungsiterationen nötig sind [ZiemsUlbrich,ZiemsUlbrich1]. Zudem ist geplant, die Optimierungsschritte nicht auf Basis der aktuellen Diskretisierung zu berechnen, sondern unter Verwendung von reduzierten Modellen, deren Qualität ebenfalls durch Fehlerschätzer kontrolliert und gegebenenfalls verbessert wird. Dieses Konzept birgt das Potential, die Optimierung eines Energiewandlers im Aufwand von wenigen Simulationsrechnungen zu ermöglichen, da die meisten Optimierungsiterationen auf Basis gröberer Diskretisierungen und reduzierter Modelle durchgeführt werden. In diesem Teilprojekt soll ein adaptives Multilevel-SQP-Verfahren entwickelt und analysiert werden, das diesen Ansatz unter Berücksichtigung von Unsicherheiten umsetzt. Die Qualitätskriterien für die adaptive Diskretisierung sowie die reduzierten Modelle basierend auf a posteriori Fehlerschätzern soll hierbei sowohl für die Zustandsgleichung als auch die adjungierte Gleichung erfolgen, um zusätzlich eine ausreichende Genauigkeit von Sensitivitätsinformation sicherzustellen. Die Generierung der Modelle soll hierbei in enger Zusammenarbeit und auf Basis der in AP 2 entwickelten parametrischen reduzierten Modelle erfolgen. Für die Behandlung von Unsicherheiten sollen Techniken der robusten Optimierung herangezogen und weiterentwickelt werden. Die robuste Formulierung soll hierbei innerhalb des Multilevel-SQP-Verfahrens auf Level des reduzierten Modells erfolgen und ebenfalls über Fehlerschätzer kontrolliert werden. Um zu einer effizient lösbaren Formulierung zu kommen, sollen elliptische Unsicherheitsmengen verwendet werden und lineare bzw. quadratische Entwicklungen für die Ermittlung von robusten Nebenbedingungen und robuster Zielfunktion zum Einsatz kommen [Bertsimas,BockDiehl,SichauUlbrich]. Die Entwicklung der robusten Formulierung soll in Zusammenarbeit mit AP 2 erfolgen. Der robuste Optimierungsansatz in Verbindung mit Multileveltechniken eröffnet eine vielversprechende Möglichkeit, die Komplexität der Optimierung von Energiewandlern unter Unsicherheit algorithmisch zu beherrschen. Nach Bestimmung der robusten Optimallösung lässt sich zudem die Fortpflanzung von Parameterunsicherheiten auf relevante Zielgrößen ermitteln, bewerten und gegebenenfalls durch Änderung der Unsicherheitsmengen zielgerichtet beeinflussen.

Ersatzmodelle in der Optimierung (AP 4.2)

Dieses Arbeitspaket stellt das Bindeglied zwischen AP 3 und AP 4 dar. Ausgangspunkt für die Entwicklung von Lösungsverfahren für robuste Optimierungsprobleme mit PDE Systemen auf der Basis von Ersatzmodellen bilden entsprechende Verfahren für die Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen (APOD [AfHi01], TRPOD [Sachs,ZiemsUlbrich]) und deren Varianten.

Die parametrischen Reduktions- und Optimierungsmethoden werden konzipiert und entwickelt für das robuste Design elektromechanischer Energiewandler. Validiert wird an einem Testproblem, das sich an den Vorgaben des Industriepartners Bosch orientiert und auf der magnetoquasitstatischen Näherung der Maxwellgleichugen basiert (ggf. auch Wirbelstromproblem mit Schaltungskopplung). Dieses Vorgehen gibt zeitnah Aufschluss über die prinzipiellen Möglichkeiten und Beschränkungen des Einsatzes von parametrischen MOR Modellen in der robusten Optimierung der Energiewandler.