AP 2: Modellordnungsreduktion

Parametrische Modellreduktion (AP 2.1)

Das Arbeitspaket parametrische Modellreduktion (pMOR) verfolgt den Ansatz, parametrisch robuste Ersatzmodelle für (nichtlineare) elektromagnetische Feldverteilungen in elektromechanischen Energiewandlern mit Methoden der simulationsbasierten Modellreduktion (POD) unter Verwendung geeigneter mathematischer Modelle zu entwickeln, die dann für das modellbasierte robuste Design des elektromechanischen Energiewandlers verwendet werden. Mathematisch führt robustes Design bei der vorliegenden Aufgabenstellung auf robuste Optimierungsaufgaben des Multiphysik-Systems, die regelhaft durch nichtlineare Systeme partieller Differentialgleichungen beschrieben werden. Für die effiziente numerische Behandlung solcher Optimierungsaufgaben sind zwei Klassen von Ersatzmodellen interessant; i) Ersatzmodelle, die über einen großen Eingangs- und Parameterbereich gültig sind, ii) Ersatzmodelle, die zu einer gegebenen Eingangsgröße (Optimierungsvariable) über einen großen Parameterbereich gültig sind. Ersatzmodelle der Klasse i) können in der robusten mathematischen Optimierung direkt anstelle des Multiphysik-Systems verwendet werden, erfordern in ihrer Berechnung aber einen hohen numerischen (offline) Aufwand. Ersatzmodelle der Klasse ii) können in der Optimierungsschleife it on the fly bereitgestellt werden, hängen aber über die aktuelle Näherungslösung von der aktuellen Iteration des Optimierungsverfahrens ab und müssen in dessen Verlauf ggf. aktualisiert/aufdatiert werden.

Ersatzmodelle der Klasse i) werden für einen elektromechanischen Energiewandler dabei auf der Grundlage von Simulationen des voll nichtlinear gekoppelten Gesamtmodells gewonnen (GMOR). Dadurch wird die Adaption des Approximationsniveaus der elektromagnetischen Feldverteilung an die Genauigkeit der Gesamtsystemsimulation dem MOR-Verfahren überlassen. In der Optimierungsschleife für die robuste Auslegung der elektromagnetischen Feldverteilung wird dann durchgängig das Ersatzmodell verwendet. Alternativ dazu werden Ersatzmodelle der Klasse ii) auf der Grundlage der während der Optimierungsschleife verfügbaren Simulationsdaten on the fly berechnet und für die Ableitungsberechnungen im Optimierungsalgorithmus verwendet. Dieser Zugang lässt sich sehr gut mit den Multilevel Optimierungsalgorithmen für die robuste Optimierung mit Systemen von partiellen Differentialgleichungen in AP 4 koppeln.

Die mathematisches Modellierung elektromagnetischer Feldverteilungen basiert auf der magnetoquasistatischen Approximation der Maxwellgleichungen, in der Wellenerscheinungen nicht modelliert werden. Das zeitabhängige resultierende PDE System hat diffusive Komponenten und kann demnach mit simulationsbasierten Reduktionsmethoden effizient reduziert werden. Simulationsbasierte MOR mit POD führt bei den vollständigen Maxwellgleichungen auf spektrale Projektionen, die keine wesentliche Dimensionsreduktion gestatten, wie die Arbeiten des BMBF Verbundprojekts MoreSim4Nano belegen.

Im Falle, dass eine gesteuerte Maschine mit Schaltung berücksichtigt wird, enthält das Gesamtsystem noch ein Netzwerk. So entstehen hochgradig nichtlineare PDAE-Systeme, deren numerische Behandlung und robuste Optimierung gegenwärtig eine große Herausforderung darstellen. Als simulationsbasierte Reduktionstechnik wird die Schnappschuss-Variante von POD eingesetzt [Sir87,HiVo05]. Deren Einsatz liefert im Rahmen der BMBF Verbundprojekte SyreNe und MoreSim4Nano vielversprechende Resultate bei der MOR nichtlinearer Schaltkreise mit Halbleiterbauelementen [HKV11. Kombiniert mit Greedy-Techniken [PatR07,HaasO08] gelingt es dabei zudem, robuste Ersatzmodelle für den relevanten Parameter-/Frequenzbereich zu konstruieren [HK10.

Die zu entwickelnden MOR Methoden sind sehr gut mit den in AP 3 und AP 4 (siehe AP3 und AP4) entwickelten Algorithmen für die Unsicherheitsanalyse und Multilevel-Optimierung für robustes Design elektromechanischer Energiewandler kombinierbar.